黄 翔，童 莉，宋亦然
当数学与音乐在课程中相遇：“目标”“内容”与“教学”
黄 翔1，童 莉1，宋亦然2
（1．重庆师范大学 数学科学学院，重庆 401331；
2．温州肯恩大学 理工学院数学系，浙江 温州 325060）
跨界与融合是教育发展的新趋势，《普通高中数学课程标准（2017年版2020修订）》设置了《音乐中的数学》这一选修课程，这是数学与音乐两门学科跨界与融合的体现．数学与音乐从古至今皆有学科因缘，当数学与音乐在课程中相遇时，碰撞出的课程目标、内容和教学具有深意：课程目标注重聚焦核心素养、体现数学文化、关注跨界思维、审美能力；
课程内容以“主线—主题—核心内容”为结构，以音乐为逻辑起点、数学为落脚点，以两者的联系为呈现方式；
课程教学要善于在数学与音乐两种语境的交叉关联中寻找教学价值点，以问题探究的方式从音乐现象到数学理性，善于选取生动典型的音乐素材进行作品案例分析，注意突出数学的思想方法凸现数学的本质，运用多样化的学习方式培养学生的实践能力和创新精神．
跨学科；
音乐中的数学；
课程目标；
课程内容
随着课程改革的推进，跨界与融合成为教育发展的新趋势，也必然带来传统学科边界的软化、交叉，STEAM教育理念以及芬兰的“现象式教学”的核心都是跨学科教育．跨界融合思维下的教育突破了传统的课程思维模式，带来了教育改革的全新视角和启示．特别是STEAM教育将“A”（art）这一综合性的人文艺术融入其中，能帮助学生优化不同学科知识的理解与应用[1]．
《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）在选修D类课程中设置了美与数学、音乐中的数学、美术中的数学、体育运动中的数学等4个专题．虽然《课标》从整体上对高中数学课程理念、目标、结构、内容及各类课程定位等做了设计，但对于选修D类课程，只是在内容框架上做了规定，没有进行详细解释与说明，一线教师在教学中存在无从下手的困境．首次设置的《音乐中的数学》课程令人眼前一亮，音乐与数学感觉是截然不同的两门学科，音乐与数学能跨界融合吗？如何设置跨界融合的课程？如何进行《音乐中的数学》教学？值得进行深入思考．
数学与音乐尽管被人们认为是分属于不同领域、相隔甚远的两个学科，但从历史早期看，它们却曾牵手而行．
古希腊时期，音乐与数学就是密不可分的．毕达哥拉斯学派受所信奉的“万物皆数”观点的影响，将数推向一个可以统治宇宙的至高无上的地位，“他们试图基于音乐的比例或者简单而典雅的几何形态来解释整个宇宙”[2]．并认为数学研究的数、关系等就是音乐中所固有的因素．这一时期通过研究整数之间的比率来发展音阶、构成和声就是这一观点典型的反映．
就当时的学校课程来看，数学与音乐也是天然结缘且地位相当的．毕达哥拉斯学派曾对课程作了一个划分，后来演变成为“四艺”，即：算术、音乐、几何、天文．在四艺中，音乐是一门严格的数学科学，它被用来处理数的关系、比率和比例．这之后又逐渐增加语法、修辞学和逻辑学，四艺最终演化为了“七艺”，但是在演化过程中，音乐仍然是数学的附属部分，这种情况在整个中世纪一直没有改变．
就中国的教育传统来看，音乐与数学在早期教育中也是相提并论的学习内容，如春秋战国时期读书人必学的“六艺”——礼、乐、射、御、书、数，就把两者并列其中．
在以后漫长的历史进程中，数学与音乐似乎在各自走着自己的路，特别是在严格、清晰的学科边界划分之下，它们成为了人们印象中互不关联的学科．
但是，历史的渊源是岁月隔不断的．数学与音乐虽然在各自的科学与人文领域发展成特色鲜明的学科，但它们终有不解之缘．
诚如德国数学家莱布尼兹所言：“音乐生于直觉，其基础是数学．”英国数学家西尔维斯特表达得更是直白：“难道不能把音乐描述成感知的数学，而把数学描述成推理的音乐？它们的灵魂是相通的．”[3]音乐是艺术的，它离不开人的情感体验与情感表达，但音乐的认识、表达、创作又是离不开物质运动的客观规律的，它也需要科学的态度．更本质的，数学与艺术的一致性表现在目的性是相同的，都是为了促进社会进步[4]，音乐和数学追求的都是“真、善、美”，这是它们相互融合的共同价值基础．这正如福楼拜所说：“越往前走艺术越是科学化，同时科学越是艺术化．两者在山麓分手，有朝一日终将在山顶重逢．”
其实，人文性与科学性的连接点最根本的在于人的活动．时代发展到今天，学校教育正需要从知识传授向学科育人转变，课程成为实现这种转变最好的载体．数学与音乐在课程中携手就成为新时代背景下课程育人的必然选择．
作为课程的《音乐中的数学》，首先需要明确的是：这是一门数学课程，不是音乐课程．作为数学课程，就要具有课程的结构与模式，要符合《课标》的整体设计与总体要求，聚焦其作为课程的理念、目标、结构、内容以及评价等，在过程中强化学生在其过程中核心素养的发展，关注学生能获取的思维方法、情感态度等．
只有将课程目标思考好、课程内容安排好、课程方式设计好，才能更加科学地将片段式的教学内容整合成课程，才能发挥出《音乐中的数学》在跨学科教学中的使命．
2.1 关于课程理念和目标的聚焦点
作为一个课程，它除了在整体上应体现《课标》的目标规定性外，更应体现它作为该课程应具有的、特有的育人价值性．有这样几点在课程实施中应予以突出．
（1）立足素养培养．这是此次高中课程改革的核心价值取向，也是在这一理念指引之下，对课程整体设计贯穿的一条主线，其中明确要求“研究制定学生发展核心素养体系和学业质量标准”[5]．正如高中《课标》所指出的那样，数学教育“要提升学生的数学素养，引导学生会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界”[6]．这里的“三会”其实就是学生数学核心素养的表现．《音乐中的数学》事实上为发展学生“三会”提供了很好的素材和平台，它为学生提供了一个从数学去看音乐的视角．不仅能开阔学生的数学视野，也能促使学生借助数学独有的眼光、思维、方法，去探究、认识音乐的规律，更加理性地理解音乐、鉴赏音乐的美和感受音乐的魅力，从而促使自身数学素养和音乐素养的提高．
（2）体现数学文化．适应时代发展的需要，作为学校课程的数学，更应该展示出一种大数学观——数学文化观念．这既是数学现代发展自身本质（在人类文明中地位）的体现，也是落实数学学科育人的现实需求．高中新课标要求数学文化要全方位融入内容与教学，并首次对数学文化的含义作了描述，特别提到它还包括“与数学相关的人文活动”．这里的“相关的人文活动”毫无疑问为数学与音乐的融合提供了导引．的确，从音乐角度感悟数学文化是一个素材丰富多样的窗口，例如，众多数学家（傅立叶、梅森、泰勒、伯努利等对乐音本质、弦和膜振动的探索以及毕达哥拉斯、中国古代算学家朱载堉）对音律发展的贡献都是极好的素材．
（3）发展跨界思维．课程与教学中的跨界思维，是指不囿于学科边界，重视学科内部、外部的知识交叉、融合，通过跨界去整合知识，从而解决问题的思维方式，它的突出特征就是思维上的迁移、融会、贯通[7]．善于跨界思考问题应成为学科教学中促进学生素养发展的一种思维品质．在数学教学的实践中往往有这种现象：数学的形式结构及逻辑性要求极大促进了学生思维的严谨性，但也容易使学生固守学科边界以维护所谓的“纯粹”，这种思维定势容易隔绝数学与其它知识，特别是人文知识之间原本可以融通的联系，造成思维的局限性，这是值得反思的．
将数学思维跨界到音乐无疑可拓展学生的思维空间，让数学在跨界思维中“活”起来．在教学中要善于利用这种思维的交叉、跳跃，让数学的理性思维与音乐的感性思维有更多的交融、互启、碰撞，在促进大脑左、右半球协调发展中提升思维品质，使学生更好地学会思考．
（4）获得美的熏陶．教育，就它的育人本质来看就是美的教育．追求美是学校教育的终极价值．新时代背景下的“五育”并举方针把美育提到了更高的地位．数学课改以来，高中课程2004年版就提出了数学审美的目标要求，2017年版高中数学课程标准进一步在目标中提出，要使学生认识数学的审美价值[6]．
有一种观点认为，美是人的自然属性和社会属性、感性和理性相统一的中介．而数学自身，它的美与音乐本身所具有的音乐美，这两种美是各有特点的，由于数学所具有的抽象美、对称美、顺序美、和谐美等更多体现为一种形式美，这种美显得“高冷”（与学生有一定距离），而音乐所具有的旋律美、形象美、情感美、色彩美更外在、易感，无疑这两种美的交融、互补能为学生提供一种独特的体验，从而为课堂审美教育拓展出新的空间．例如，通过某一音乐作品旋律的模进、倒影手法体会数学的平移、对称等变换，辅之以这一作品主题本身的意义诠释和情感渲染，让学生不仅能感悟到其中共有的美，而且能在比较中去主动欣赏美．所以在《音乐中的数学》教学中，追求的最高境界就是提供一个美的课程环境，让学生得到美的熏陶，这是超然于数学和音乐之上的更高的追求．
2.2 关于课程内容的具体安排
此次高中数学课程在内容上强调突出主线[8]，以“主线—主题—核心内容”为结构呈现课程内容．根据《课标》要求，基于课程的特点，可以将《音乐中的数学》从3条线展开：乐音基础的数学视角、乐曲中的数学、乐器中的数学．这3条线又可以具体安排为5个主题，每个主题再细化为若干内容点[9]．在这里反映出一个课程内容上的明显特点，即：知识的逻辑起点一般来说是音乐，但知识学习的落脚点是数学，重点是在两者间找到联系，进而运用数学的思想、方法去分析、解决音乐中的问题．
表1对该课程内容主题、音乐知识点、相关联的数学知识点、相应的数学文化案例、课时建议等提供了一个设计方案（课时按《课标》规定设置）．
表1 《音乐中的数学》课程安排设计方案
3.1 善于在数学与音乐两种语境的交叉关联中找到教学的价值点
《课标》对该课程内容的设定前提是学生已经具有了与高中水平相适应的音乐知识与数学知识，也就是说作为知识来看，对于学生来说并非具有完全意义上的“新”（当然，由于此前学习的实际情况，部分学生在音乐上有欠账又另当别论）．那么教学点在哪儿呢？如前所言，《音乐中的数学》希望提供一个用数学的眼光去看音乐的视角，所以关键是在数学、音乐两种语境的交叉、关联中，提升学生的认知水平，即让学生能跳出来看问题、想问题，从认知发展上看这应是一种元认知的要求了．这样的眼光、思维方法不仅能促进学生数学思维的发展，更能促进其整个思维品质的提升．
比如音乐的节拍，这应该是学生在平时的唱歌等音乐活动中都已经接触到了的、有感性认知的知识．节拍反映到谱子上，就有拍号，四二拍、四三拍、四四拍等，这个看起来很简单的一个拍号，它的本质是什么呢？你可以抓住这样一个问题把它引向数学，从数学的角度来看乐谱拍号，就可以在很多层次上挖掘到它的数学教学意义：借助分数的意义及运算法则对具体乐谱案例中的节拍数、时长、各种拍号之间的转换做分析；
也可以对改变节奏的休止符、附点、连音符的实质作分析；
还可以借助运算创造一些新的节拍，等等．
又如“振动弦”周期函数与乐音基本要素的研究、（调和）平均数与音的频率比的关系、连分数理论与探求音阶中音频率的最佳数值比等都是这方面极好的素材．
3.2 以问题探究的方式从音乐现象入手上升到数学的理性分析
音乐中的一些规律，常常表现为一些现象，人们更多也是结合具体作品进行经验总结，形成音乐中的常识．若能结合音乐发展的历史线索和具体情境，设置问题情境[10]，构造问题链，驱动探究路径，引发层层思考，将现象和常识上升到数学的理性分析，将会收到“知其然，更知其所以然”的效果．
比如还是一个最简单的音乐常识：通过“1（do）、2（re）、3（mi）、5（sol）、6（la）”可以构成五声音阶，加上“4（fa）、7（si）”这两个音又可以构成七声音阶，大家都认为从来就是这么规定的，其实它的背后有许多值得探索的问题，教学时可以引导学生思考：为什么恰恰选择这几个音呢？它们又是按照什么规律来构成音阶的呢？
运用数学思维来思考，又有若干子问题可探究：毕达哥拉斯是如何通过弦长比的实验发现八度、五度、四度音的？通过弦长（或频率）的整数比是如何构造音阶的？从数学角度看，中国古代的“三分损益法”与毕氏的“五度相生律”有什么异同？它们和“纯律”有什么关系？十二平均律与上述3种构造音阶方法有什么本质不同？
在此基础上，还可以提出一些深度思考的问题，如：（1）为什么频率比是比较小的整数比时，两个音听起来会相对和谐呢？（此问题可引导学生运用泛音序列的知识来解决）（2）为什么要用十二平均律来构成音阶呢？这一律制有什么优势呢？（该问题可用等比数列、连分数等知识来解决）
在学完相关知识后，还可以结合数学、音乐史，从数学文化的角度做进一步的课题研究．如人教版《音乐中的数学》在这部分就按如下线索作了问题设计[9]．
探究：数学计算是如何解决音律发展过程中的关键问题的？
（1）中国古代用三分损益法产生音律时，从起始音黄钟开始，最终不能完全回归到黄钟本律，即所得到的音和最初的音不能形成八度关系，这在音律上构成“不能还原”问题．
（2）无独有偶，西方音乐律制发展中也遇到同样的问题，毕达哥拉斯运用五度相生法生律过程中，会出现被称为毕达哥拉斯音差（Pythagorean Comma）的现象．查阅有关资料并通过频率计算，探讨这一现象出现的原因．
（3）上述结果表明，采用弦长（或频率）成整数比的调音方法不会得到音阶序列中音的完整循环，从而无法解决移调、转调问题．那为什么说中国明代朱载堉于1584年首次提出的“新法密率”成功地解决了这一问题？他的突破点在哪里？
3.3 善于选取生动典型的音乐素材通过作品案例分析实施教学
对学生而言，他们在日常生活中已经积累了大量音乐活动的经验，有很多自己熟悉的音乐家、歌唱家以及他们的作品．教学中有意识地选取有关的作品案例进行数学解剖、讨论，不仅能使学生有新鲜感、亲近感，而且能从数学的角度增强学生对音乐作品的鉴赏能力和分析能力．
如黄金分割，其本质上是通过对对象整体进行分割所获得的部分与整体间的一种比例关系，这种比例关系不仅给人以美感，而且揭示了对象匀称、和谐的内在属性规律．同样，一首乐曲是具有整体功能的作品，为使整体功能更好地发挥，必须优化它的结构，这就要涉及乐曲高潮点的安排，节奏、调式的转换，以及不同曲式内部结构的分配，等等．很自然地黄金分割所特有的艺术审美价值和功能就为音乐艺术家们所青睐，并把它有意或无意地运用于作品结构的处理之中．
为使学生能体会到这一点，在教学中，可选取一些典型案例通过不同的结构点来进行分析．如：在曲式结构上的黄金点（莫扎特的“C大调钢琴奏鸣曲（K545）”、舒曼的“梦幻曲”等）；
反映乐曲高潮的黄金点（“长江之歌”“映山红”等）；
主歌、副歌转换的黄金点（“我的祖国”“英雄赞歌”等）；
情境对比的黄金点（“在那桃花盛开的地方”“敢问路在何方”等）；
乐曲调式转换的黄金点（“在太行山上”等）；
节奏转换的黄金点（“我爱你塞北的雪”等）．
另外，通过德国古典音乐家巴赫的作品（如“赋格的艺术”）来欣赏、分析斐波那契数列的运用，从音乐充溢着的对称性、秩序感与节律美中，体会其具有的浓浓的数学味，这也是兼具探索性和趣味性的学习活动．
3.4 始终注重突出数学的思想和方法凸显数学的本质
《音乐中的数学》落脚点是数学，因此，突出数学、思想方法是教学中必须注意的重点．
例如，提出一个思考问题：“人们常说，五线谱与简谱相比有一个优点，就是在五线谱上你能清楚地看到音的位置，这是为什么呢？”从音乐角度讲，人们通常的解释是，在五线谱上某个音的位置是固定的，能直观地看到，而简谱却看不到．那为什么呢？这就可以从数学的角度来思考：在二维平面中若要确定一个点的位置，需要找到点在坐标系中的横坐标与纵坐标，通过表示它的坐标的二元数组（，），就能唯一确定它的位置．同样可以把五线谱视为坐标系（以音阶的高低作为纵坐标、节拍的长短作为横坐标），一个乐音的位置就通过五线谱这个坐标系来确定了．对这样一个问题的分析突出的是形数对应、点的位置唯一确定的数学思想、方法．
这样的例子还有很多，如：讨论乐音的振动、音阶的度数关系、钢琴键的排列、节拍的重复变化等问题时可揭示其蕴含的周期性、对称性等思想；
将音的频率比转换成音程时运用的对数思想方法；
探讨在同一个时长之下两个旋律节奏相互匹配的对应思想和最小公倍数方法；
讨论旋律中基本音型的对称、平移、反射等作曲手法所体现的变换思想，等等．
3.5 运用多样化的学习方式培养学生的实践能力和创新精神
该课程的教学，为改变传统的单一演练习题式的学习方式，提供了极大空间．教学中可根据课程特点采用更具针对性的、形式多样化的教学形式，如：资料收集、作品欣赏、专题讨论、声乐表演、论文撰写、乐曲创作、小乐器制作，等等．通过学习方式的改变提高学生的活动性、参与性、亲历性，促使学生在多样化的学习中积累数学与音乐活动经验，从中不仅感悟数学思想，体会数学与音乐之美，还能在学习中培养学生实践能力和创新精神．
例 图1中的谱例取自歌曲“我和我的祖国”（张藜词，秦咏诚曲）前3个乐句，请运用数学变换的思想分析第一、三乐句旋律线的特点．
图1 《我和我的祖国》前3个乐句
可以这样展开活动．步骤一，哼唱：首先通过轻轻哼唱这两个乐句，从旋律上感觉这两句在音高和音的组合上的相同点和不同点．步骤二，观察：结合五线谱，观察这两乐句的结构以及每个音的位置特点，会发现，它们都由8个音构成，这8个音在各自乐句中的节拍位置都是一样的，而两乐句相对应的音在音阶上分别都相差1度．步骤三，画图：在谱子上，用曲线分别连接这两个乐句，得到它们的直观图形（旋律线）．步骤四，结论：若将音阶和节拍分别视为纵坐标、横坐标单位，第三乐句是第一乐句所作的向上1个单位、向右12个单位（想想为什么？）的平移变换．步骤五，讨论：从音乐的角度讨论为什么要采用这种方法，让学生体会这种平移在作曲手法上叫“模进”，在此例中，采用这一手法不仅重复强调了中心旋律，且进一步渲染了乐曲所要表达的情感．
此例还可作拓展，如让学生查阅其它音乐资料去寻找更多的这种模进的乐句（类似的做法也可用于对称变换）；
自行设定一个旋律，采用平移（以及对称）的方法，发展这个旋律，在课堂上通过演唱、弹奏来分享自己的小创作．
高中数学选修D类课程中的《音乐中的数学》虽然是供有志于学习体育、艺术（包括音乐、美术）类学生选择的课程，但也是数学与音乐两门学科跨界融合课程的体现，学生可以通过此课程发展核心素养、体会数学文化、培养跨界思维和审美能力．课程内容以“主线—主题—核心内容”为结构，有3条主线5个主题，每个主题再细化为若干内容点，内容的逻辑起点是音乐，最终的落脚点是数学，在两者的关联中进行具体呈现．因此，建议在该课程教学中，要善于在数学与音乐两种语境的交叉关联中寻找教学价值点，以问题探究的方式从音乐现象上升到数学的理性分析，善于选取生动典型的音乐素材进行作品案例分析，注意突出数学的思想方法凸现数学的本质，运用多样化的学习方式培养学生的实践能力和创新精神．
[1] 胡焱，蒋秋．数学教育与STEM（STEAM）教育的融合：机遇与挑战——基于数学教育与STEM（STEAM）教育国际学术研讨会[J]．数学教育学报，2019，28（6）：92–94．
[2] 阿里·马奥尔．音乐是怎样算成的[M]．张岭，译．北京：北京联合出版公司，2021：23．
[3] 周明儒．数学与音乐[M]．北京：高等教育出版社，2015：126．
[4] 杨耕文，赵尊禹，徐本顺．数学与艺术[J]．数学教育学报，1996，5（3）：79–84．
[5] 史宁中．高中数学课程标准修订中的关键问题[J]．数学教育学报，2018，27（1）：8–10．
[6] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]．北京：人民教育出版社，2020：5．
[7] 黄翔，童莉，史宁中．谈数学课程与教学中的跨学科思维[J]．课程·教材·教法，2021，41（7）：106–111．
[8] 史宁中，吕世虎，李淑文．改革开放四十年来中国中学数学课程发展的历程及特点分析[J]．数学教育学报，2021，30（1）：1–11．
[9] 人民教育出版社课程教材研究所普通高中课程标准选修课程用书数学编委会．音乐中的数学（数学D类）[M]．北京：人民教育出版社，2021：29．
[10] 黄翔，王尚志，张思明，等．关于高中数学课程性质与基本理念的新思考[J]．数学教育学报，2018，27（1）：22–26．
Mathematics Encounters with Music in Curriculum:“Objective” “Content” “Teaching”
HUANG Xiang1, TONG Li1, SONG Yi-ran2
(1. School of Mathematical Sciences, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China;2. Department of Mathematics, Institute of Technology, WENZHOU-KEAN University, Zhejiang Wenzhou 325060, China)
The new trend in the development of education is cross-boundary and integration.is an elective course set in, which reflects the cross-boundary and integration of mathematics and music. Mathematics and music have been related to each other since ancient times. When mathematics and music meet in the curriculum, the curriculum objectives, contents and teaching that come out of the collision have profound meanings: the curriculum objectives should focus on core literacy, reflect mathematical culture, pay attention to boundary crossing thinking and aesthetic ability; the course content is structured with “mainline - theme - core content”, with music as the logical starting point, mathematics as the foothold, and the relationship between the two as the way of presentation; the course teaching should be good at finding teaching value points in the cross-correlation between mathematics and music, from the music phenomenon to explore the mathematical rationality in the way of question inquiry, be good at selecting vivid and typical music materials for case study, pay attention to the outstanding mathematical thought and method to highlight the essence of mathematics, and use a variety of learning methods to cultivate students’ practical ability and innovative spirit.
interdisciplinary; mathematics in music; curriculum objectives; curriculum contents
G420
A
1004–9894（2022）06–0006–05
黄翔，童莉，宋亦然．当数学与音乐在课程中相遇：“目标”“内容”与“教学”[J]．数学教育学报，2022，31（6）：6-10．
2022–06–24
全国教育科学“十一五”规划教育部重点课题——新课改十年数学课堂的变化研究（GOA107012）
黄翔（1947—），男，湖北恩施人，教授，博士生导师，主要从事数学课程与教学研究．童莉为本文通讯作者．
[责任编校：周学智、陈汉君]
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